已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n若bn=log2(an+1),在bk(k为下标）与b(k+1)（k+1为下标）之间插入2^(k-1)个2,得到一个新数列{cn},问：是否存在正整数m,使数列{cn}的前m项和Tm=2013?若存在,求m;若不

Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-n
若bn=log2(an+1),在bk(k为下标）与b(k+1)（k+1为下标）之间插入2^(k-1)个2,得到一个新数列{cn},问：是否存在正整数m,使数列{cn}的前m项和Tm=2013?若存在,求m;若不存在,说明理由.（要详细过程,谢谢!）

Answer 1

　把a1 = s1,代入已知Sn=2an-n
　　　a1 = 2a1 - 1 ,得a1 = 1
　　　当n>1时
　　　an = Sn-S(n-1) = 2an-n -[2a(n-1)-(n-1)] = 2an - 2a(n-1)-1
　　　an = 2a(n-1)+1,两边都加1
　　　（an）+1 = 2[a(n-1)+1],
　　　数列{an+1}是首项为2(因为是a1+1),公比为2的等比数列
　　　an+1 = 2*2^(n-1) = 2^n
　　 an的通项为(2^n)-1
即 ：　an=(2^n)-1
∴bn=log2(an +1)=n
∴Cn=1,2,2,2,3,2,2,2,2,4…
数列
{Cn}中,bk（含bk项）前的所有项的和是(1+2+…+k)+2^1+2^2+…+2^(k-2)=k(k+1)/2 +2^(k-1)-2
当k=10 ,其和为1077<2013
当k=11,其和为2112>2013
又因为2013-1077=936=468x2,是2的倍数
所以当m=10+(1+2+4…+2^8)+468=989时, Tm=2013
即存在m=989使Tm=2013