已知△ABC，①如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点；②如图2，若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点；③如图3，若P点是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点．（1）探究上述三种情况下，∠

Question

已知△ABC，

①如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点；
②如图2，若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点；
③如图3，若P点是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点．
（1）探究上述三种情况下，∠P与∠A的数量关系（直接写出结论）；
（2）任选一种情况加以证明．

Answer 1

（1）对于图1：∠P=90°+(1)/(2)∠A；
对于图2：∠P=(1)/(2)∠A；
对于图3：∠P=90°-(1)/(2)∠A；
（2）证明：如图2，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴∠PBC=(1)/(2)∠ABC，∠ACP=(1)/(2)∠ACE．
又∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC．
∵∠P=180°-∠PBC-∠BCP，
∴∠P＝180°−(1)/(2)∠ABC−∠ACB−∠ACP
=180°−(1)/(2)∠ABC−∠ACB−(1)/(2)∠ACE
=180°−(1)/(2)(∠ABC+∠A+∠ABC)−∠ACB
=180°−∠ABC−(1)/(2)∠A−∠ACB
=180°-（∠ABC+∠ACB）-(1)/(2)∠A
=180°-（180°-∠A）-(1)/(2)∠A
=∠A-(1)/(2)∠A
=(1)/(2)∠A．