已知函数f(x)=1/2ax2+2x,g(x)=Inx.是否存在正实数a,使得函数T（x）=g(x)已知函数f(x)=1/2ax²+2x,g(x)=Inx.是否存在正实数a,使得函数T（x）=g(x)/x-f'(x)+(2a+1)在区间（1/e,e）内有两个不同的零点?若存在,请

Question

已知函数f(x)=1/2ax2+2x,g(x)=Inx.是否存在正实数a,使得函数T（x）=g(x)
已知函数f(x)=1/2ax²+2x,g(x)=Inx.是否存在正实数a,使得函数T（x）=g(x)/x-f'(x)+(2a+1)在区间（1/e,e）内有两个不同的零点?若存在,请求出a的取值范围.

Answer 1

∵f(x)=(1/2)ax² 2x,g(x)=lnx,
∴h(x)=g(x)/x-f'(x) (2a 1)= （lnx）/x－ax－2
∴在区间(1/e,e)内,只当x=1,且a=－2时,
h(x)=0/1 2－2=0；
另若（lnx）/x－ax－2=0
则,ax=（lnx）/x－2
而在区间(1/e,1)内,（lnx）/x＜0；
在区间(1,e)内,（lnx）/x＜1
∴当x≠1时,总有ax=（lnx）/x－2＜0
∴a－0,
∴不存在正实数a,使得函数h(x)=g(x)/x-f'(x) (2a 1)在区间(1/e,e)内有两个不同的零点；而只当x=1,且a=－2时,h(x)=0/1 2－2=0,存在一个零点.