已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+3．（I）解不等式：|g（x）|<5；（II）若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+3．
（I）解不等式：|g（x）|<5；
（II）若对任意的x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由||x-1|+3|<5得，
得-5<|x-1|+3<5，即-8<|x-1|<2，
所以，-2因此，原不等式的解集为：（-1，3）；
（Ⅱ） 因为任意的x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以，f（x）的值域是g（x）值域的子集，
即{y|y=f（x），x∈R}⊆{y|y=g（x），x∈R}，
根据绝对值三角不等式，|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，
所以，f（x）的值域为：[|a+3|，+∞），
而g（x）=|x-1|+3的值域为：[3，+∞），
因此，[|a+3|，+∞）⊆[3，+∞），
即|a+3|≥3，解得a≤-6或a≥0，
所以，实数a的取值范围为：（-∞，-6]∪[0，+∞）．