已知抛物线y=x2+mx-m2（m＞0）与x轴交干A、B两点。（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧：（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角

Question

已知抛物线y=x ² +mx- m ² （m＞0）与x轴交干A、B两点。
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧：
（2）若 （O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形，求△ABC的面积。

Answer 1

（1）证明：∵m＞0，
∴x=- ＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）设抛物线与x轴交点坐标为A（x ₁ ，0），B（x ₂ ，0），
则x ₁ +x ₂ =-m＜0，x ₁ ·x ₂ =- m ² ＜0，
∴x ₁ 与x ₂ 异号，
又 ，
∴OA＞OB，由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x ₁ ＜0，x ₂ ＞0，
∴OA=｜x ₁ ｜=-x ₁ ，OB=x ₂ 代入 得： ，
即 ，解得m=2，
∴抛物线的解析式是：y=x ² +2x-3；
（3）当x=0时，y=- m ²
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，- m ² ）
∵△ABC是直角三角形，AB ² =AC ² +BC ² ，
∴（x ₁ -x ₂ ） ² =x ₁ ² +（- m ² ） ² +x ₂ ² +（- m ² ） ² ，
∴-2x ₁ ·x ₂ = m ⁴ ，
∴-2（- m ² ）= m ⁴ ，解得m= ，
∴S _△ABC = ·｜AB｜·｜OC｜= ｜x ₁ -x ₂ ｜·｜- m ² ｜= ×2m× m ² = 。