在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m-1（m>0）与x轴的交点为A，B，顶点为C，将抛物线在A，C，B之间的部分记为图象E（A，B两点除外）．（1）求抛物线的顶点坐标．（2）AB=6时，经过点C

Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+m-1（m>0）与x轴的交点为A，B，顶点为C，将抛物线在A，C，B之间的部分记为图象E（A，B两点除外）．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）AB=6时，经过点C的直线y=kx+b（k≠0）与图象E有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围．
（3）若横、纵坐标都是整数的点叫整点．
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，C，B之间的图象E与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵y=mx²-2mx+m-1=m（x²-2x+1）-1=m（x-1）²-1，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，-1）．
（2）∵抛物线的对称轴为x=1，AB=6，
∴抛物线与x轴的两个交点分别是（-2，0），（4，0），
将点（-2，0），（1，-1）代入直线的解析式得：

-2k+b=0

k+b=-1

，
解得：k=-(1)/(3)．
将点（4，0），（1，-1）代入直线的解析式得：

4k+b=0

k+b=-1

，
解得：k=(1)/(3)．
∴k的取值范围为-(1)/(3)<k<0，或0<k<(1)/(3)．
（3）①当m=1时，抛物线表达式为y=x²-2x，
令y=0得：x²-2x=0，解得x=0或x=2，
∴A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0）．
∴则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个．
②抛物线顶点为（1，-1），图象E与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，
∴线段AB上（含AB两点）必须有5个整点．
令y=mx²-2mx+m-1=0，得到A、B两点坐标分别为（1-(1)/(√(m))，0），（1+(1)/(√(m))，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，
∴2≤(1)/(√(m))<3，
解得：(1)/(9)<m≤(1)/(4)．