已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴交点为B(0,1)且b=-4ac在抛物线上是否存在一点C,是以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在,请说明理由；若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的

Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴交点为B(0,1)且b=-4ac
在抛物线上是否存在一点C,是以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在,请说明理由；若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心P的坐标

Answer 1

∵抛物线与y轴交点为B(0,1)
∴c=1
则b=-4a
y=ax^2+bx+c=ax^2-4ax+1=a(x-2)^2+1-4a
抛物线的顶点A的坐标为A(2,1-4a)
∵A在x轴上
∴1-4a=0
a=1/4
b=-4a=-1
抛物线y=(1/4)x^2-x+1
A(2,0),B(0,1)
设满足条件的点C坐标为C(m,n)
n=(1/4)m^2-m+1=(1/4)(m-2)^2
以BC为直径的圆经过以BC为直径的圆经过
则∠BAC=90°
即AB⊥AC
直线AB的斜率k(AB)=(0-1)/(2-0)=-1/2
直线AC的斜率k(AC)=(0-n)/(2-m)=[-(1/4)(m-2)^2]/(2-m)=(m-2)/4
k(AB)·k(AC)=(-1/2)·(m-2)/4=-1
m=10
n=(1/4)(m-2)^2=16
即C点坐标为(10,16)
圆心P是BC中点,P的坐标是(5,17/2)