已知抛物线A、B、C三点,点P（1,k）在直线BC上,点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以AM、N、P为顶点的平行四边形?若存在,请出M的坐标；若不存在,请说明理由抛物线：Y=-x^2+2X+3,直线y=-X+3

Question

已知抛物线A、B、C三点,点P（1,k）在直线BC上,点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以AM、N、P为顶点的平行四边形?若存在,请出M的坐标；若不存在,请说明理由
抛物线：Y=-x^2+2X+3,直线y=-X+3

Answer 1

答：抛物线y=-x²+2x+3,交x轴于点A（-1,0）,点B（3,0）,交y轴点C（0,3）
BC直线y=-x+3,点P（1,k）在BC直线上：k=-1+3=2,点P为（1,2）.
PN//AM时,PN直线为y=1,联立抛物线方程整理得：
x²-2x-2=0,解得：x=1±√3
1）点N为（1-√3,1）时,四边形AMPN是平行四边形,则AN//PM
AN直线斜率为(1-0)/(1-√3+1)=2+√3
所以：PM的斜率也是2+√3,PM直线为y-2=(2+√3)(x-1)
令y=0,解得：x=-3+2√3
所以：点M为（2√3-3,0）
2）点N为（1+√3,1）时,四边形APNM是平行四边形,则AP//NM
AP直线斜率为(2-0)/(1+1)=1
所以：NM的斜率也是1,NM直线为y-1=1*(x-1-√3)=x-1-√3
令y=0,解得：x=√3
所以：点M为（√3,0）
综上所述,点M为（2√3-3,0）或者（√3,0）