设k为常数,求f(x)=(x^2+k+1)/根号下(x^2+k)的最小值

Question

设k为常数,求f(x)=(x^2+k+1)/根号下(x^2+k)的最小值

Answer 1

f(x)=(x^2+k+1)/√（x^2+k)
=√（x^2+k)+ 1/√（x^2+k)

1、当且仅当√（x^2+k)=1/√（x^2+k）,得x^2=1-k≥0,此时√（x^2+k)+1/√（x^2+k)≥2,
即k∈（-∞,1〕,f（x）min=2
2、当k>1时,可f（x）是偶函数,x∈（-∞,0〕是单调递减的；
x∈〔0,+∞）是单调递增的；
所以
当x=0时,取得最小值f（x）min=f（0）=（k+1）/√k （此时k>1)