设A=ααT+ββT，α，β是3维列向量，αT为α的转置，βT为β的转置．（1）证明：r（A）≤2；（2）若α，β线性相关，则r（A）＜2．

Question

设A=αα^T+ββ^T，α，β是3维列向量，α^T为α的转置，β^T为β的转置．
（1）证明：r（A）≤2；
（2）若α，β线性相关，则r（A）＜2．

Answer 1

（1）
证明：
因为α，β是3维列向量，所以有：
r（αα^T）≤r（α）≤1，r（ββ^T）≤r（β）≤1，
r（A）=r（αα^T+ββ^T）≤r（αα^T）+r（ββ^T）≤2．

（2）
证明：
若α，β线性相关，则可设：β=kα，其中k不为零，
于是：
r（A）=r[αα^T+（kα）•（kα）^T]=r[αα^T+k²α•α^T]=r（αα^T）≤1＜2，证毕．