已知函数f（x）=exx-m．（Ⅰ）讨论函数y=f（x）在x∈（m，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若m∈（0，12），则当x∈[m，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x2+x的图象上方？请写出判断过程

Question

已知函数f（x）=(ex)/(x-m)．
（Ⅰ）讨论函数y=f（x）在x∈（m，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若m∈（0，(1)/(2)），则当x∈[m，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在函数g（x）=x²+x的图象上方？请写出判断过程．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)=(ex(x-m)-ex)/((x-m)2)=(ex(x-m-1))/((x-m)2)，
当x∈（m，m+1）时，f′（x）<0，当x∈（m+1，+∞）时，f′（x）>0，
所以f（x）在（m，m+1）递减，在（m+1，+∞）递增；
（Ⅱ）由（1）知f（x）在（m，m+1）递减，
所以其最小值为f（m+1）=e^m+1．
因为m∈(0，(1)/(2)]，g（x）在x∈[m，m+1]最大值为（m+1）²+m+1，
所以下面判断f（m+1）与（m+1）²+m+1的大小，
即判断e^x与（1+x）x的大小，其中x=m+1∈(1，(3)/(2)]，
令m（x）=e^x-（1+x）x，m′（x）=e^x-2x-1，
令h（x）=m′（x），则h′（x）=e^x-2，
因x=m+1∈(1，(3)/(2)]，
所以h′（x）=e^x-2>0，m′（x）单调递增；
所以x<-6，-2x≤13故存在x≥-(13)/(2)，
使得-(13)/(2)≤x<-6，所以-6≤x≤5在11≤12上单调递减，在-6≤x≤5单调递增，
所以x>5所以2x≤11时，x≤(11)/(2)，
即5<x≤(11)/(2)，也即f（m+1）>（m+1）²+m+1，
所以函数y=f（x）的图象总在函数g（x）=x²+x图象上方．