x的2k次方-y的2k次方能被x+y整除?这是怎么分解的呢?还有为什么x的2k+1次方-y的2k+1次方也能被x+y整除前面我懂了再用-y代替y，再分类讨论n的正负就行了，开始把奇偶都设为n是为了方便计算，但

Question

x的2k次方-y的2k次方能被x+y整除?
这是怎么分解的呢?
还有为什么x的2k+1次方-y的2k+1次方也能被x+y整除
前面我懂了
再用-y代替y，再分类讨论n的正负就行了，开始把奇偶都设为n是为了方便计算，但如果用-y代替y，n的奇偶就是不能忽略的了。这就不懂了
2k+1时用-y代可得-y^n+x^n
但用2k代就是y^n+x^n了
我想问x的2k次方-y的2k次方能被x+y整除？

Answer 1

这是等比数列的知识
设(n就包括了2k和2k+1)
A = x^n + x^(n-1)y + n^(n-2)y^2 + ...+ xy^(n-1) + y^n
(y/x)*A = x^(n-1)y + n^(n-3)y^3 + ...+ y^n + y^(n+1)/x
(y/x)*A-A=[y^(n+1)/x - x^n](中间项全部消掉)
A=[y^(n+1)/x - x^n]/(y/x-1)=[y^(n+1) - x^(n+1)]/(y-x)
也就是说y^(n+1)-x^(n+1)=A*(y-x)=(y-x)(x^n + x^(n-1)y + n^(n-2)y^2 + ...+ xy^(n-1) + y^n)
再用n-1代替上式的n便可得
y^n - x^n=(y-x)(x^(n-1) + x^(n-2)y + n^(n-3)y^2 + ...+ xy^(n-2) + y^(n-1))
x^n - y^n=(x-y)(x^(n-1) + x^(n-2)y + n^(n-3)y^2 + ...+ xy^(n-2) + y^(n-1))
n为偶数时
用-y代替y可得
x^n - y^n=(x+y)(x^(n-1) - x^(n-2)y + n^(n-3)y^2 + ...+ xy^(n-2) - y^(n-1))
n为奇数时
x^n-y^n就不能被x+y整除了
比如x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)不能再分解了,不能被x+y整除,如果能的话必能分解出一个(x+y)多项式,但分解不出来.
我原来的推导过程错了,现在改过来了.