已知双曲线x^2-y^2=4,直线l:y=k(x-1),试讨论直线与双曲线交点的个数

Question

已知双曲线x^2-y^2=4,直线l:y=k(x-1),试讨论直线与双曲线交点的个数

Answer 1

把y=k(x-1)代入双曲线方程得
x^2-k^2(x-1)^2=4
x^2-k^2（x^2-2x+1）=4
x^2-k^2x^2+2xk^2-k^2-4=0
（1-k^2）x^2+2k^2x-（k^2+4）=0
△=4k^4+4（1-k^2）（k^2+4）
=4k^4+4（k^2-k^4-4k^2+4）
=4k^4-12k^2-4k^4+16
=-12k^2+16
当△=0时只有一个交点,此时k=±√3/2
当△＞0时有两个交点,此时k^2＜3/4解得-√3/2＜k＜√3/2
当△＜时,无交点,此时k＜-√3/2,或者k＞√3/2