设函数，．（Ⅰ）若，求的极小值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，说明理由．（Ⅲ）设有两个零点，且成

Question

设函数 ， ．
（Ⅰ）若 ，求 的极小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，是否存在实常数 和 ，使得 和 ？若存在，求出 和 的值．若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设 有两个零点 ，且 成等差数列，试探究 值的符号．

Answer 1

设函数 ， ．
（Ⅰ）若 ，求 的极小值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，是否存在实常数 和 ，使得 和 ？若存在，求出 和 的值．若不存在，说明理由．
（Ⅲ）设 有两个零点 ，且 成等差数列，试探究 值的符号．

（Ⅰ） ;（Ⅱ）存在这样的k和m，且 ;（Ⅲ） 的符号为正.

试题分析：（Ⅰ）首先由 ,得到关于 的两个方程,从而求出 ,这样就可得到  的表达式,根据它的特点可想到用导数的方法求出 的极小值; （Ⅱ）由（Ⅰ）中所求的 和 ,易得到它们有一个公共的点 ,且 和 在这个点处有相同的切线 ,这样就可将问题转化为证明 和 分别在这条切线 的上方和下方,两线的上下方可转化为函数与0的大小,即证 和 成立,从而得到 和 的值; （Ⅲ）由已知易得 ,由零点的意义,可得到关于 两个方程,根据结构特征将两式相减,得到关于 的关系式 ,又对 求导,进而得到 ,结合上面关系可化简得: ,针对特征将 当作一个整体,可转化为关于  的函数 ,对其求导分析得, 恒成立.
试题解析：（Ⅰ）由 ，得 ，解得         2分
则 = ，
利用导数方法可得 的极小值为

作业帮用户 2016-11-19

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