如图，直线l与O相离，过点O作OA⊥l，垂足为A，OA交O于点B，点C在直线l上，连接CB并延长交O于点D，在直线l上另取一点P，使∠PCD=∠PDC．（1）求证：PD是O的切线；（2）若AC=1，AB=2，PD=6，求

Question

如图，直线l与 O相离，过点O作OA⊥l，垂足为A，OA交 O于点B，点C在直线l上，连接CB并延长交 O于点D，在直线l上另取一点P，使∠PCD=∠PDC．

（1）求证：PD是 O的切线；
（2）若AC=1，AB=2，PD=6，求 O的半径r和△PCD的面积．

Answer 1

（1）连接OD，

∴∠ABC=∠OBD=∠ODB，
∵OA⊥l，
∴∠PCD+∠ABC=90°，
∴∠PCD+∠ODB=90°，
∵∠PCD=∠PDC，
∴∠PDC+∠ODB=90°，即∠ODP=90°，
∴PD是 O的切线；

（2）∵∠PCD=∠PDC，
∴PC=PD=6，
∴PA=5，
设OB=OF=OD=r，
由PA²+AO²=PD²+OD²可得5²+（2+r）²=6²+r²，
解得：r=(7)/(4)，
延长AO交 O于点F，连接DF，
∵∠ABC=∠DBF、∠BAC=∠BDF=90°，
∴△ABC∽△DBF，
∴(AB)/(DB)=(BC)/(BF)，即(2)/(DB)=(√(5))/((7)/(2))，
∴DB=(7√(5))/(5)，
过点D作DE⊥PC于点E，
∴△CAB∽△CED，
∴(AB)/(ED)=(CB)/(CD)，即(2)/(DE)=(√(5))/(√(5)+(7√(5))/(5))，
解得：DE=(24)/(5)，
∴S_△PCD=(1)/(2)PC•DE=(1)/(2)×6×(24)/(5)=(72)/(5)．