已知2a3b=2c3d=6,a,b,c,d表示前系数的次方求证(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).

Question

已知2a3b=2c3d=6,【a,b,c,d表示前系数的次方】求证(a-1)(d-1)=(b-1)
(c-1).

Answer 1

证明：
2^a ×3^b=2^c ×3^d=6=2×3
∴每项都除以2×3,得
2^(a-1) ×3^(b-1)=2^(c-1) ×3^(d-1)=1
∴都取对数,得
lg2^(a-1) + lg3^(b-1)=lg2^(c-1) +lg3^(d-1) =lg1=0
∴(a-1)lg2 +(b-1)lg3=(c-1)lg2 +(d-1)lg3=0
∴(a-1)lg2=-(b-1)lg3
(c-1)lg2=-(d-1)lg3
两式相除,得
(a-1)/(c-1)=(b-1)/(d-1)
∴(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)