证明,若n>=1及x>=0,y>=0,证明不等式(x^n+y^n)>=(x+y)^n

Question

证明,若n>=1及x>=0,y>=0,证明不等式(x^n+y^n)>=(x+y)^n

Answer 1

原不等式应该是：
若n≥1,x≥0,y≥0,证明：(x^n+y^n)/2≥[(x+y)/2]^n.
证法一(权方和不等式):
x^n+y^n
＝x^n/1^(n-1)+y^n/1^(n-1)
≥(x+y)^n/(1+1)^(n-1)
＝(x+y)^n/2^(n-1)
∴(x^n+y^n)/2≥[(x+y)/2]^n.
证法二(构造函数法)：
构造函数：f(t)＝t^n,
则f'(t)＝nt^(n-1),f"(t)＝n(n-1)t^(n-2)>0.
∴f(t)为下凸函数,
依Jensen不等式得
[f(x)+f(y)]/2≥f[(x+y)/2]
∴(x^n+y^n)/2≥[(x+y)/2]^n.