求证：一个集合A,如果它的聚点有可数多个,那么A中元素的个数至多为可数多个.

Question

求证：一个集合A,如果它的聚点有可数多个,那么A中元素的个数至多为可数多个.

Answer 1

首先来说明,对于A中的任何一个聚点,其邻域内的元素最多为可数多个
用反证法,假设存在某个A中的聚点x0,其δ邻域内的属于A的元素是不可数的.那么必定存在x0的某个δ’邻域,使得在这个邻域里只有可数个点是不属于集合A的（如果不存在这样的邻域的话,会与‘x0的δ邻域内的元素为不可数’相矛盾）,那么可以知道,在x0的δ’邻域中,每个属于A的元素都为聚点（因为其周围最多有可数个点不属于A）,这将会与‘A中的聚点只有可数多个’相矛盾
因此,对于A中的任何一个聚点,其邻域内的元素最多为可数多个
因为集合A中的聚点只有可数多个,不妨把其设出来x1,x2,x3,……
由上面刚证明的结论可知,在聚点某个邻域内的元素最多为可数多个,因此这些聚点邻域内的所有元素加起来最多为可数多个,而除了聚点邻域内的元素,其它属于A的元素最多为可数多个（不然的话会产生聚点）.因此A中的元素最多为可数多个