公差小于零的等差数列{an}的前n项和Sn满足S9=S17,则此数列的前n项之和取得最大值时,n的值是?为什么?

Question

公差小于零的等差数列{an}的前n项和Sn满足S9=S17,则此数列的前n项之和取得最大值时,n的值是?为什么?

Answer 1

d＜0
S9=(a1+a9)*9/2=9*a5
S17=(a1+a17)*17/2=17*a9
S9=S17
∴9*a5=17*a9
9*(a1+4d)=17*(a1+8d)
8*a1=-100d
2*a1=-25d
d=-(2/25)*a1
d＜0,则a1＞0
∴an=a1+(n-1)d=a1+(1-n)(2/25)a1=[(27-2n)/25]a1
Sn=[a1+an]n/2
=a1*[(52-2n)/25]n/2
=(a1/25)*[-n²+26n]
此函数可看做开口向下的二次函数,图像对称轴为n=13
∴当n=13时,Sn最大,