已知等差数列{an}满足a1=3，a5=15，数列{bn}满足b1=4，b5=31，设正项等比数列{cn}满足cn=bn-an．（1）求数列{an}和{cn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和．

Question

已知等差数列{a_n}满足a₁=3，a₅=15，数列{b_n}满足b₁=4，b₅=31，设正项等比数列{c_n}满足c_n=b_n-a_n．
（1）求数列{a_n}和{c_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意得a₅=a₁+4d⇒3+4d=15⇒d=3，所以a_n=3+3（n-1）=3n．
设等比数列{c_n}的公比为q，依题意得c₁=b₁-a₁=4-3=1，c₅=b₅-a₅=31-15=16，
从而c5=c1q4⇒16=1×q4⇒q=2，所以cn=1×2n-1=2n-1．
（2）因为cn=bn-an⇒bn=an+cn⇒bn=3n+2n-1，所以数列{b_n}的前n项和S_n=（3+1）+（6+2）+（9+2²）+…+（3n+2^n-1）
=（3+6+…+3n）+（1+2+2²+…+2^n-1）
=(n(3+3n))/(2)+(2n-1)/(2-1)
=(3n2+3n)/(2)+2ⁿ-1．