证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．

Question

证明：形如8n+7的数不可能是三个整数的平方和．

Answer 1

证明：假设存在任意正整数n，使8n+7是三个正整数的平方和即设三个整数分别为x，y，z，
则有：x²+y²+z²=8n+7
x²+y²+z²=2﹙4n+3）+1①
x，y，z中，必有一个奇数两个偶数，令x=2a+1，y=2b，z=2c
则4a²+4a+1+4b²+4c²=2﹙4n+3﹚+14﹙a²+a+b²+c²﹚=2﹙4n+3﹚2﹙a²+a+b²+c²﹚=4n+3
即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾②
x，y，z都是奇数，令x=2a+1，y=2b+1，z=2c+1，
则4﹙a²+b²+c²+a+b+c+(1)/(2)﹚+1=2﹙4n+3﹚+1
4﹙a²+b²+c²+a+b+c+(1)/(2)﹚=2﹙4n+3﹚，
所以2﹙a²+b²+c²+a+b+c+(1)/(2)﹚=4n+3，
所以2﹙a²+b²+c²+a+b+c﹚=4n+2
所以a²+b²+c²+a+b+c=2n+1，
a，b，c都是奇数，偶数个奇数的和是偶数，2n+1是奇数即：一个奇数等于另一个偶数，矛盾
综上所述：8n+7不可能是三个整数的平方和