已知圆O：x2+y2=1，点P为直线x-2y-3=0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（）A.（2，0）B.（3，0）C.（12，-1）D.（13，-23）

Question

已知圆O：x²+y²=1，点P为直线x-2y-3=0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（　　）

A. （2，0）

B. （3，0）

C. （

(1)/(2)，-1）

D. （

(1)/(3)，-(2)/(3)）

Answer 1

因为P是直线x-2y-3=0的任一点，所以设P（2m+3，m），
因为圆x²+y²=1的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
则圆心C的坐标是（m+(3)/(2)，(m)/(2)），且半径的平方是r²=((2m+3)2+m2)/(4)，
所以圆C的方程是（x-m-(3)/(2)）²+（y-(m)/(2)）²=((2m+3)2+m2)/(4)，①
又x²+y²=1，②，
②-①得，（2m+3）x+my-1=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m+3）x+my-1=0，
即m（2x+y）+（3x-1）=0，
由

3x-1=0

2x+y=0

得x=(1)/(3)，y=-(2)/(3)，
所以直线AB恒过定点（(1)/(3)，-(2)/(3)），
故选D．