如图1，矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，在BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处．（1）求CF和EF的长；（2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，

Question

如图1，矩形ABCD中，AB=10cm，AD=6cm，在BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处．
（1）求CF和EF的长；
（2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PM∥EF交AE于点M，过点M作MN∥AF交EF于点N．设点P运动的时间为t（0＜t＜10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？
（3）以A为坐标原点，AB所在直线为横轴，建立平面直角坐标系，如图3，在（2）的条件下，连接FM，若△AMF为等腰三角形，求点M的坐标．

Answer 1

（1）由题意，得AB=AF=10，
∵AD=6，
∴DF=8，
∴CF=2．（2分）
设EF=x，则BE=EF=x，CE=6-x
在Rt△CEF中，2²+（6-x）²=x²
解得，x＝(10)/(3)，
∴EF＝(10)/(3)；（4分）

（2）∵PM∥EF，
∴△APM∽△AFE，
∴(PM)/(FE)＝(AP)/(AF)
即(PM)/((10)/(3))＝(t)/(10)，
∴PM＝(1)/(3)t，
∵PMNF是矩形，
∴S=PM•PF=(1)/(3)t(10−t)＝−(1)/(3)t2+(10)/(3)t（6分）
∵a＝−(1)/(3)＜0，
∴当t＝−(b)/(2a)＝5时，S最大＝(25)/(3)；（8分）

（3）①若AM=FM，则AM＝√(52+((5)/(3))2)＝(5)/(3)√(10)，
过点M作MG⊥AB于G，则△AMG∽△AEB，
∴AG＝(1)/(2)AB＝5，MG＝(1)/(2)EB＝(5)/(3)，
∴M（5，(5)/(3)）；（11分）
②若AM=AF=10，过点M作MH⊥AB于H，
由△AMH∽△AEB，得AH=3√(10)，MH=√(10)，
∴M（3√(10)，√(10)）．
故点M的坐标为（5，(5)/(3)）或（3√(10)，√(10)）．