如图（1），在正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N．（1）DM与MN相等吗？试说明理由．（2）若将上述条件“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”

Question

如图（1），在正方形ABCD中，M为AB的中点，E为AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N．
（1）DM与MN相等吗？试说明理由．
（2）若将上述条件“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其余条件不变，如图（2），则DM与MN相等吗？为什么？

Answer 1

（1）过N作NF⊥AE于F，MN交BC于H，

∵HB∥NF，MN⊥DM，
∴可得∠BMH=∠MDA，
∴△MBH∽△DAM，△MBH∽△MFN
∴(BH)/(MB)=(AM)/(DA)=(1)/(2)=(NF)/(MF)，
∴2NF=MF，
又∵NF=BF，
∴MB=BF=(1)/(2)DA，
由以上可得△DAM≌△MFN
即可得DM=MN；

（2）结论“DM=MN”仍成立．
证明：
在AD上截取AF'=AM，连接F'M．
∵DF'=AD-AF'，MB=AB-AM，AD=AB，AF'=AM，
∴DF'=MB，
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F'DM=∠BMN，
∵AF′=AM，∠A=90°，
∴∠AF′M=∠AMF′=45°，
∴∠DF′M=135°，
∵BN平分∠CBE，∠CBE=90°，
∴∠NBE=(1)/(2)∠CBE=45°，
∴∠MBN=135°，
∴∠DF′M=∠MBN，
在△DF'M和△MBN中

∠F′DM＝∠BMN

DF′＝BM

∠DF′M＝∠MBN

，
∴△DF'M≌△MBN．
∴DM=MN．