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如图,∠MAN=60°,点B在射线AM上,AB=4,点P为直线AN上一动点,以BP为边作等边三角形BPQ(点B,P,Q按顺时针排列),点O是△BPQ的外心.(1)如图1,当OB⊥AM时,点O∠MAN的平分线上(填“
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如图,∠MAN=60°,点B在射线AM上,AB=4,点P为直线AN上一动点,以BP为边作等边三角形BPQ(点B,P,Q按顺时针排列),点O是△BPQ的外心.
(1)如图1,当OB⊥AM时,点O___∠MAN的平分线上(填“在”或“不在”);
(2)求证:当点P在射线AN上运动时,总有点O在∠MAN的平分线;
(3)当点P在射线AN上运动(点P与点A不重合)时,AO与BP交于点C,设AP=m,用m表示AC•AO;
(4)若点D在射线AN上,AD=2,圆I为△ABD的内切圆.当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时,请直接写出点A与点O的距离.

(1)如图1,当OB⊥AM时,点O___∠MAN的平分线上(填“在”或“不在”);
(2)求证:当点P在射线AN上运动时,总有点O在∠MAN的平分线;
(3)当点P在射线AN上运动(点P与点A不重合)时,AO与BP交于点C,设AP=m,用m表示AC•AO;
(4)若点D在射线AN上,AD=2,圆I为△ABD的内切圆.当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时,请直接写出点A与点O的距离.

▼优质解答
答案和解析
(1)在.
理由:如图1所示:连接OP.

∵点O为等边△BQP的外心,
∴∠BOP=2∠BQP=120°,OB=OP.
∵OB⊥AM,
∴∠ABO=90°.
∵∠A+∠ABO+∠BOP+∠OPA=180°,
∴∠OPA=90°.
∴OP⊥AN.
∵OP=OB,OP⊥AN,OB⊥AM,
∴点O在∠MAN的平分线上.
(2)当点A与点P不重合时,如图2所示:连接OB、OP、OA.

∵点O是等边三角形BOQ的外心,
∴∠BOP=120°,OP=OB.
∵∠BAP=60°,
∴∠BAP+∠BOP=180°.
∴点A、B、O、P共圆.
又∵OB=OP,
∴∠BAO=∠PAO.
∴点O在MAN的角平分线上.
当点P与点A重合时.
∵点O是等边三角形BOQ的外心,
∴PO平分∠BPQ.
∵∠BPQ与∠MAN重合,
∴∠PO平分∠MAN.
综上所示,总有点O在∠MAN的平分线.
(3)如图3所示:连接OB、OP、AO.

∵由(2)可知点B、O、P、A共圆,
∴∠BOA=∠BPA.
∵AO平分∠MAN,
∴∠BAO=∠PAO.
∴△ABO∽△ACP.
∴
=
.
∴AC•AO=AB•PA.
∴AC•AO=4m.
(4)如图4所示:当点P与点D重合时.

∵∠BAP=60°,BA=4,AD=2,
∴BP⊥AP.
∴∠BPA=90°.
又∵∠PAC=
∠MAN=30°,
∴∠OCB=∠ACP=60°.
∵O为等边三角形的外心,
∴∠OBC=30°.
∴∠BOC=90°.
在Rt△AOB中,OA=
AB=2
.
如图5所示:当点A与点P重合时.

∵∠BAD=60°,BA=4,AD=2,
∴BD⊥AQ.
∴∠BDA=90°.
∵在Rt△AOD中,∠DAO=30°,AD=2,
∴AO=AD÷
=2×
=
.
如图6所示:

∵∠BAD=60°,BA=4,AD=2,
∴BD⊥AN.
∴∠BDA=90°.
∴∠ABD=30°
∵O为△BPQ的外心,
∴∠OBD=30°.
∴点A与点O重合.
∴OA=0.
综上所述,OA=2
或OA=
理由:如图1所示:连接OP.

∵点O为等边△BQP的外心,
∴∠BOP=2∠BQP=120°,OB=OP.
∵OB⊥AM,
∴∠ABO=90°.
∵∠A+∠ABO+∠BOP+∠OPA=180°,
∴∠OPA=90°.
∴OP⊥AN.
∵OP=OB,OP⊥AN,OB⊥AM,
∴点O在∠MAN的平分线上.
(2)当点A与点P不重合时,如图2所示:连接OB、OP、OA.

∵点O是等边三角形BOQ的外心,
∴∠BOP=120°,OP=OB.
∵∠BAP=60°,
∴∠BAP+∠BOP=180°.
∴点A、B、O、P共圆.
又∵OB=OP,
∴∠BAO=∠PAO.
∴点O在MAN的角平分线上.
当点P与点A重合时.
∵点O是等边三角形BOQ的外心,
∴PO平分∠BPQ.
∵∠BPQ与∠MAN重合,
∴∠PO平分∠MAN.
综上所示,总有点O在∠MAN的平分线.
(3)如图3所示:连接OB、OP、AO.

∵由(2)可知点B、O、P、A共圆,
∴∠BOA=∠BPA.
∵AO平分∠MAN,
∴∠BAO=∠PAO.
∴△ABO∽△ACP.
∴
AB |
AC |
AO |
AP |
∴AC•AO=AB•PA.
∴AC•AO=4m.
(4)如图4所示:当点P与点D重合时.

∵∠BAP=60°,BA=4,AD=2,
∴BP⊥AP.
∴∠BPA=90°.
又∵∠PAC=
1 |
2 |
∴∠OCB=∠ACP=60°.
∵O为等边三角形的外心,
∴∠OBC=30°.
∴∠BOC=90°.
在Rt△AOB中,OA=
| ||
2 |
3 |
如图5所示:当点A与点P重合时.

∵∠BAD=60°,BA=4,AD=2,
∴BD⊥AQ.
∴∠BDA=90°.
∵在Rt△AOD中,∠DAO=30°,AD=2,
∴AO=AD÷
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2
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4
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3 |
如图6所示:

∵∠BAD=60°,BA=4,AD=2,
∴BD⊥AN.
∴∠BDA=90°.
∴∠ABD=30°
∵O为△BPQ的外心,
∴∠OBD=30°.
∴点A与点O重合.
∴OA=0.
综上所述,OA=2
3 |
4
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