已知函数f（x）=ax2+bx+4lnx的极值点为1和2．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）在区间（0，3]上的最大值．

Question

已知函数f（x）=ax²+bx+4lnx的极值点为1和2．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间（0，3]上的最大值．

Answer 1

f′（x）=2ax+b+(4)/(x)=(2ax2+bx+4)/(x)，x∈（0，+∞），
（1）∵y=f（x）的极值点为1和2，
∴2ax²+bx+4=0的两根为1和2，
∴

1+2＝−(b)/(2a)

1×2＝(4)/(2a)

，解得a=1，b=-6．
（2）由（1）得f（x）=x²-6x+4ln x，
∴f′（x）=2x-6+(4)/(x)=(2x2−6x+4)/(x)＝(2(x−1)(x−2))/(x)，x∈（0，3]．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	-5	单调递减	4ln 2-8	单调递增	4ln 3-9

∵f（3）=4ln 3-9＞f（1）=-5＞f（2）=4ln2-8，
∴f（x）max=f（3）=4ln3-9．