f(x)=x^2㏑(1+x)在x=0处的n阶导数

Question

f(x)=x^2 ㏑(1+x)在x=0处的n阶导数

Answer 1

方法1：
根据：(UV)的n阶导数 = U'(n) V + U'(n-1) V' + C(n,1) U'(n-2) V'' +C(n,2) .+U V'(n)
其中 x² = x² Ln(1 + x) '(n) = (- 1)^)(n-1) （n-1)!/ (1 + x)^n
x² ’ = 2x Ln(1 + x) ' (n-1) = (- 1)^(n-2) (n-2)!/ (1 + x)^(n-1)
x² '' = 2 Ln(1 + x) ' (n-2) = (- 1)^(n-3) *(n-3)!/ (1 + x)^(n-2) --其实只要计算这个
就可以了,因为 x = 0 时,x² ’ = 2x ＝0
x² ''' = 0 Ln(1 + x) ' (n-3)= .
fn(0) = n(n-1)/2 * 2 * (- 1)^(n-3) (n-3)!/ (1 + x)^(n-2) = (- 1)^(n-3) * n(n-1)(n-3)!
= (- 1)^(n-1) * n!/ (n - 2)