在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC,过BC的中点M作ME⊥AD,交BA的延长线于E,交AD的延长线于F,则BE与BD的关系为的关系为

Question

在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC,过BC的中点M作ME⊥AD,交BA的延长线于E ,交AD的延长线于F,
则BE与BD的关系为的关系为

Answer 1

1. 在AC上截取一段AB',使AB'=AB；证明三角形AB'D全等三角形ABD.所以DB=DB',∠AB'D=∠ABD=2∠C
因为∠AB'D=∠C+∠B'DC,所以三角形B'CD是等腰三角形.B'C=B'D=DB
2.G为EM延长线在AC上的焦点.证三角形AFG与三角形AFE是全等三角形（直角三角形中,两个角相等,共边）,所以AG=AE,∠AGM=∠AEF又因为AB'=AB,所以B'G=BE
3.过B点做AC的平行线交EM于H点
因为∠GMC和∠BME是对顶角,CM=BM,∠C=角MBH（平行线内错角相等）,所以三角形CGM全等于三角形BMH.所以BH=CG,∠BHE=∠AGM=∠AEF,所以三角形BHE是等腰三角形,BE=BH=CG
4.所以BD=DB'=B'C=B'G+GC=BE+BE=2BE