在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=23，求cosC的值．

Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．
（1）证明：A=2B；
（2）若cosB=(2)/(3)，求cosC的值．

Answer 1

（1）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B），由A，B∈（0，π），
∴0∴A=2B．
（II） cosB=(2)/(3)，∴sinB=√(1-cos2B)=(√(5))/(3)．
cosA=cos2B=2cos²B-1=-(1)/(9)，sinA=√(1-cos2A)=(4√(5))/(9)．
∴cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-(2)/(3)×(-(1)/(9))+(√(5))/(3)×(4√(5))/(9)=(22)/(27)．