函数f（x）=ex-1ex+1，g（x）=f（x-1）+1，an=g（1n）+g（2n）+g（3n）+…+g（2n-1n），n∈N*（1）求函数{an}的通项公式；（2）设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．

Question

函数f（x）=(ex-1)/(ex+1)，g（x）=f（x-1）+1，a_n=g（(1)/(n)）+g（(2)/(n)）+g（(3)/(n)）+…+g（(2n-1)/(n)），n∈N^*
（1）求函数{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=(1)/(anan+1)，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）∵f（-x）+f（x）=(e-x-1)/(e-x+1)+(ex-1)/(ex+1)=(1-ex)/(1+ex)+(ex-1)/(ex+1)=0，
∴g（x）+g（2-x）=f（x-1）+1+f（1-x）+1=2，
∵a_n=g（(1)/(n)）+g（(2)/(n)）+g（(3)/(n)）+…+g（(2n-1)/(n)），
∴a_n=g（(2n-1)/(n)）+g（(2n-2)/(n)）+g（(2n-3)/(n)）+…+g（(1)/(n)），
两式相加得2a_n=2（2n-1），
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=(1)/((2n-1)(2n+1))=(1)/(2)（(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1)），
∴S_n=(1)/(2)（1-(1)/(3)+(1)/(3)-(1)/(5)+…+(1)/(2n-1)-(1)/(2n+1)）=(1)/(2)（1-(1)/(2n+1)）=(n)/(2n+1)．