在区间[0，1]上，函数f（x）定义为f（x）=1x-[1x]，x∈(0，1]0，x=0，讨论f（x）在[0，1]上的Riemann可积性．

Question

在区间[0，1]上，函数f（x）定义为f（x）=

(1)/(x)-[(1)/(x)]，x∈(0，1]

0，x=0

，讨论f（x）在[0，1]上的Riemann可积性．

Answer 1

由[(1)/(x)]≤(1)/(x)≤[(1)/(x)]+1，知0≤f（x）<1，f（0）=0，f（1）=0．
对正整数n≥2，当x=(1)/(n)时，f((1)/(n))=0，
当(1)/(n+1)<x<(1)/(n)时，f(x)=(1)/(x)-n，

lim

x→((1)/(n+1))+

f(x)=1，

lim

x→((1)/(n))-

f(x)=0．
于是，f的间断点为{0，(1)/(2)，(1)/(3)，…}，是可数集，
且{0，(1)/(2)，(1)/(3)，…}只有唯一聚点，
所以f（x）在[0，1]上是Riemann可积的．
对任意0<δ<1，显然f（x）在[δ，1]是Riemann可积的．
对于[0，1]上的任意分割0=x₀<x₁<…<x_n=1，
记w_i为f（x）在区间[x_i-1，x_i]上的振幅，△x_i=x_i-x_i-1，∑wi△xi=

xi∈[0，δ)

wi△xi+

xi∈[δ，1]

wi△xi≤δ+

xi∈[δ，1]

wi△xi，
由此可推知f（x）在[0，1]上是Riemann可积．