已知定义在R上的函数(a，b，c，d为实常数)的图象关于原点对称，且当x＝1时f(x)取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）证明：对任意∈[－1，1]，不等式成立；（

Question

已知定义在R上的函数 ( a ， b ， c ， d 为实常数)的图象关于原点对称，且当 x ＝1时 f ( x )取得极值 .
（Ⅰ）求函数 f ( x )的解析式；
（Ⅱ）证明：对任意 ∈[－1，1]，不等式 成立；
（Ⅲ）若函数 在区间(1，∞)内无零点，求实数 m 的取值范围.

Answer 1

（1） （2）见解析（3）(－∞，1]

（Ⅰ）因为 f ( x )的图象关于原点对称，则 f ( x )为奇函数，所以 f (0)＝0，即 d ＝0.（1分）
又 ，即 ，则b＝0.
所以 ， .                                      
因为当 x ＝1时 f ( x )取得极值 ，则 ，且 .
即 ，故 .              
（Ⅱ）因为 ，则当－1≤x≤1时， .
所以 f ( x )在[－1，1]上是减函数.                                              
所以当x∈[－1，1]时， ， .              
故当 ∈[－1，1]时， .                        
（Ⅲ）因为 ，则 ， .      
由 ，得 ，即 ，即 .
所以 在区间 上是增函数，在 上是减函数，从而 在 处取极小值.                                                                     
又 ，若函数 在区间(1，∞)内无零点，则 ，所以 ，即 m ≤1.
故实数 m 的取值范围是(－∞，1].