（2014•宁波模拟）已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直

Question

（2014•宁波模拟）已知抛物线C的方程为y²=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．

Answer 1

（Ⅰ）∵点R（1，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，
∴4=2p，解得p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂y₂），直线AB的方程为x=m（y-1）+1，m≠0，
由

x＝m(y−1)+1

y2＝4x

，消去x，并整理，得：y²-4my+4（m-1）=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=4（m-1），
设直线AR的方程为y=k₁（x-1）+2，
由

y＝k1(x−1)+2

y＝2x+2

，解得点M的横坐标xM＝(k1)/(k2−2)，
又k1＝(y1−2)/(x1−1)=(y1−2)/((y12)/(4)−1)=(4)/(y1+2)，
∴x_M=(k1)/(k1−2)=-(2)/(y1)，
同理点N的横坐标x_N=-(2)/(y2)，
|y₂-y₁|=√((y2+y1)2−4y1y2)=4√(m2−m+1)，
∴|MN|=√(5)|x_M-x_N|=√(5)|-(2)/(y1)+(2)/(y2)|=2√(5)|(y2−y1)/(y1y2)|，
=8√(5)(√(m2−m+1))/(4|m−1|)=2√(5)(√(m2−m+1))/(|m−1|)，
令m-1=t，t≠0，则m=t=1，
∴|MN|=2√(5)√(((1)/(t)+(1)/(2))2+(3)/(4))≥√(15)，
即当t=-2，m=-1时，|MN|取最小值为√(15)，
此时直线AB的方程为x+y-2=0．