y=（mx^2+8x+n)/(x^2+1)的值域为[1,9],求m,n的值如题,详解,

Question

y=（mx^2+8x+n)/(x^2+1)的值域为[1,9],求m,n的值
如题,详解,

Answer 1

【解】注意：log3(1)=0,log3(9)=2.
设t=t(x)=(mx^2+8x+n)/(x^2+1),则问题变为：
函数定义域为：R,值域是[1,9],求m,n的值.
由t=(mx^2+8x+n)/(x^2+1)得
(m-t)x^2+8x+(n-t)=0
因为x∈R,所以上面关于x的二次方程有实根,因而
▲=8^2-4（m-t)(n-t)≥0
t^2-(m+n)t+mn-16≤0
因为t∈[1,9],即上面的二次不等式解集为[1,9]
所以 m+n=1+9,mn-16=1×9
解得 m=n=5