f(x)=mx+2,g(x)=x^2+2x+m.若存在整数ab,使得a≤f(x)-g(x)≤b的解集恰好是[a,b],求a-b

Question

f(x)=mx+2,g(x)=x^2+2x+m.若存在整数ab,使得a≤f(x)-g(x)≤b的解集恰好是[a,b],求a-b

Answer 1

答案应为 -2或0；由于不等式中包含相等条件,且[a,b]为闭区间,
因此 a=b 时 a-b=0 同样满足题目所给条件.具体分析如下：
f(x) - g(x) = mx+2 -(x^2+2x+m) = - [ x² -(m-2)x +(m-2)]
a≤f(x)-g(x)≤b ==> -b ≤ x² -(m-2)x +(m-2) ≤ -a
上式等价于不等式组
x² -(m-2)x +(m-2+b) ≥ 0 ---- (1)
x² -(m-2)x +(m-2+a) ≤ 0 ---- (2)
假设方程(1):x² -(m-2)x +(m-2+b) = 0 有根,两个根为 x11,x12,且x11≤ x12
则：x11+x12 =m-2
不等式(1)的解为 x≤ x11,或 x ≥ x12
假设方程(2):x² -(m-2)x +(m-2+a) = 0 有根,两个根为 x21,x22; 且x21≤ x22
则：x21+x22 =m-2
不等式(2)的解为 x21≤ x ≤x22；
由于 x11+x12 =x21+x22 =m-2,若不等式(1)的解为两段形式,则不等式(1)(2)
的解的交集要么是[x21,x11]U[x12,x22] (x21≤ x11),要么为空,不会为单一区间[a,b]；
要使不等式组的解集为单一区间[a,b],只有：
i) 不等式(1) 恒成立 ==> 方程 x² -(m-2)x +(m-2+b) = 0 有二等根或无解；
==> △ = (m-2)² - 4(m-2+b) ≤ 0
= (m-4)² - 4(b+1) ≤ 0
==> (m-4)² ≤ 4(b+1) ---- (3)
ii) 不等式(2)解集为[a,b] ==> 方程 x² -(m-2)x +(m-2+a) = 0 有二根 a,b
即：a+b =m-2； ---- (4)
a*b = m-2+a； ---- (5)
由(4)(5)有：
(a-b)² = (a+b)² -4ab = (m-2)² - 4(m-2+a)
= (m-4)² - 4(a+1)
将(3)式代入得到：
(a-b)² = (m-4)² - 4(a+1) ≤ 4(b-1)-4(a-1)
==> (a-b)² + 4(a-b) ≤ 0
==> -4 ≤ a-b ≤ 0；
将(4)代入(5)消去m得到：
a*b =2a+b ==> b = 2a/(a-1)
a,b均为整数,因此满足条件的整数对只有：
a=-1；b=1；==> a-b=-2;
a=0； b=0；==> a-b = 0;
a= 2；b=4；==> a-b =-2;
a= 3；b=3；==> a-b =0；
结论：a-b的值为 -2,或 0