若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得ab=n，即a=bn，例如：若整数a能被整数7整除，则一定存在整数n，使得a7=n，即a=7n．（1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位

Question

若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得(a)/(b)=n，即a=bn，例如：若整数a能被整数7整除，则一定存在整数n，使得(a)/(7)=n，即a=7n．
（1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字1078分解为8和107，107-8×2=91，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，请你证明任意一个三位数都满足上述规律．
（2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的k（k为正整数，1≤k≤15）倍，所得之和能被13整除，求当k为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．

Answer 1

（1）设任意一个三位数为

.

abc

（均为自然数且），
依题意假设

.

ab

-2c=10a+b能被7整除，
不妨设

.

ab

-2c=7n（ n为自然数 ），则10n+b=7n，

.

abc

=100a+10b+c=10（10a+b）+c=10（7n+2c）+c=7（10n+3c），
所以

.

abc

能被7整除；

（2）以下出现的字母均为自然数，设个位之前及个位数分别为m、n，
依题意不妨设m+kn=13a，
则原多位数为10m+n，
依题意不妨设10m+n=13b，
联立可得：b=10a-(n)/(13)（10k-1），
则10k-1为13倍数，分别将 k=1、2、3、4、5…15代入可知，只有k=4 时符合条件．