设f(x),g(x)是E上的非负可测函数.若f(x)=g(x),a.e.x∈E.则∫f(x)dx=∫g(x)dx.

Question

设f(x),g(x)是E上的非负可测函数.若f(x)=g(x),a.e.x∈E.则∫f(x)dx=∫g(x)dx.

Answer 1

首先要知道一个结论：可测函数在零测集上的积分为0
由于f(x)=g(x) a.e.x∈E
则设E=A∪B,其中f(x)=g(x),x∈A
f(x)≠g(x),x∈B
因此B为零测集,有∫(B) f(x) dx = ∫(B) g(x) dx = 0
左边=∫(E) f(x) dx
=∫(A) f(x) dx + ∫(B) f(x) dx
=∫(A) f(x) dx
=∫(A) g(x) dx
=∫(A) g(x) dx + ∫(B) g(x) dx
=∫(E) g(x) dx
=右边
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