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在三角形ABC的三边AB、BC、CA上分别取点M、N、L,求证:三角形LAM、三角形MBN、三角形NCL中至少有一个面积不大于1/4S三角形ABC
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在三角形ABC的三边AB、BC、CA上分别取点M、N、L,求证:三角形LAM、三角形MBN、三角形NCL中至少有一个面积不大于1/4 S三角形ABC
▼优质解答
答案和解析
假设M分AB上的两段比例分别为x:(1-x)
同理,N分BC上的两段比例分别为y:(1-y)
L分CA上的两段比例分别为z:(1-z)
并且假设三角形面积为1个单位
那么也就是证明x(1-y),y(1-z),z(1-x)至少有一个不大于1/4
反过来设结论不成立,那么就有
x(1-y)>1/4
y(1-z)>1/4
z(1-x)>1/4
也就是
sqrt(x(1-y))>1/2
sqrt(y(1-z))>1/2
sqrt(z(1-x))>1/2
运用基本不等式:(x+1-y)/2 >=sqrt(x(1-y))
(y+1-z)/2 >=sqrt(y(1-z))
(z+1-x)/2 >= sqrt(z(1-x))
上面三个式子加起来:
左边=3/2 >=sqrt(x(1-y))+sqrt(y(1-z))+sqrt(z(1-x))>3/2
矛盾
所以假设不成立,也就是题中结论成立
同理,N分BC上的两段比例分别为y:(1-y)
L分CA上的两段比例分别为z:(1-z)
并且假设三角形面积为1个单位
那么也就是证明x(1-y),y(1-z),z(1-x)至少有一个不大于1/4
反过来设结论不成立,那么就有
x(1-y)>1/4
y(1-z)>1/4
z(1-x)>1/4
也就是
sqrt(x(1-y))>1/2
sqrt(y(1-z))>1/2
sqrt(z(1-x))>1/2
运用基本不等式:(x+1-y)/2 >=sqrt(x(1-y))
(y+1-z)/2 >=sqrt(y(1-z))
(z+1-x)/2 >= sqrt(z(1-x))
上面三个式子加起来:
左边=3/2 >=sqrt(x(1-y))+sqrt(y(1-z))+sqrt(z(1-x))>3/2
矛盾
所以假设不成立,也就是题中结论成立
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