在三角形ABC的三边AB、BC、CA上分别取点M、N、L,求证：三角形LAM、三角形MBN、三角形NCL中至少有一个面积不大于1/4S三角形ABC

Question

在三角形ABC的三边AB、BC、CA上分别取点M、N、L,求证：三角形LAM、三角形MBN、三角形NCL中至少有一个面积不大于1/4 S三角形ABC

Answer 1

假设M分AB上的两段比例分别为x：（1-x）
同理,N分BC上的两段比例分别为y：（1-y）
L分CA上的两段比例分别为z：（1-z）
并且假设三角形面积为1个单位
那么也就是证明x（1-y）,y（1-z）,z（1-x）至少有一个不大于1/4
反过来设结论不成立,那么就有
x（1-y）>1/4
y（1-z）>1/4
z（1-x）>1/4
也就是
sqrt（x（1-y））>1/2
sqrt（y（1-z））>1/2
sqrt（z（1-x））>1/2
运用基本不等式：（x+1-y）/2 >=sqrt（x（1-y））
（y+1-z）/2 >=sqrt（y（1-z））
（z+1-x）/2 >= sqrt（z（1-x））
上面三个式子加起来：
左边=3/2 >=sqrt（x（1-y））+sqrt（y（1-z））+sqrt（z（1-x））>3/2
矛盾
所以假设不成立,也就是题中结论成立