设X1=2,Xn+1=2+1/Xn,n>=1,求证当n趋于无穷时,极限Xn存在.

Question

设X1=2,Xn+1=2+1/Xn,n>=1,求证当n趋于无穷时,极限Xn存在.

Answer 1

先求通项吧
我用表示下标.
X=2+1/X,两边同加待定参数q,
X+q=2+q+1/X=[(2+q)X+1]/X,两边取倒数,
1/(X+q)=X/[(2+q)X+1],
1/(X+q)=1/(2+q)*{1/(2+q)^2 / [X+1/(2+q)]},
令q=1/(2+q),可解出q,这里暂不解出.原式变成
1/(X+q)=q-q^2/(X+q),令a=1/(X+q),a=1/(X+q),原式变为
a=q-q^2*a,两边同加p,用待定参数法得到p=-q/(q^2+1)时,a+p是等比数列,公比是-q^2,即
(a+p)=-q^2*(a+p),所以
a+p=(a+p)*(-q^2)^(n-1)
X=1/{[1/(X+q)+p](-q^2)^(n-1)-p}-q.
现在求出q,q=-1+sqrt(2)1,
对于小于1的q,在n趋于无穷时(-q^2)^(n-1)趋于零（有界乘以无穷小还是无穷小）,所以
limX=-1/p-q=1/q=1+sqrt(2),
对于大于1的q,在n趋于无穷时(-q^2)^(n-1)趋于无穷大,但因为在分母上,所以整个这一项为零,所以
limX=-q=1+sqrt(2),
结果无论q取哪个解limX都等于1+sqrt(2),即-无穷