已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴

Question

已知O为坐标原点，F是椭圆C： (x2)/(a2)+ (y2)/(b2)=1（a>b>0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为___．

Answer 1

由题意可设F（-c，0），A（-a，0），B（a，0），
令x=-c，代入椭圆方程可得y=±(b2)/(a)，可得P（-c，±(b2)/(a)）．
设直线AE的方程为y=k（x+a），
令x=-c，可得M（-c，k（a-c）），令x=0，可得E（0，ka），
设OE的中点为H，可得H（0，(ka)/(2)），
由B，H，M三点共线，可得k_BH=k_BM，即(a-c)/(a+c)=(1)/(2)，即为a=3c，
可得e=(c)/(a)=(1)/(3)，
故答案为：(1)/(3)．