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四边形ABCD是正方形,△CEF是等腰直角三角形,∠CEF=90°,EF=EC,连接AF,G为AF的中点,连接GB,GE,EB(1)如图①,当点B、C、E在同一直线上时,求证:GB⊥GE(方法提示:可以延长BG…构造
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四边形ABCD是正方形,△CEF是等腰直角三角形,∠CEF=90°,EF=EC,连接AF,G为AF的中点,连接GB,GE,EB
(1)如图①,当点B、C、E在同一直线上时,求证:GB⊥GE(方法提示:可以延长BG…构造全等三角形进行证明,方法不唯一,仅供参考)
(2)将图①中的△CEF绕点C逆时针旋转至图②位置时,GB与CE是否垂直?若垂直,请写出证明过程:若不垂直,请说明理由
(3)将图③中的△CEF绕点C逆时针旋转一周,若CE=3,AB=3
,点E,F,A三点共线时,∠DCF=___°(直接写出结果)

(1)如图①,当点B、C、E在同一直线上时,求证:GB⊥GE(方法提示:可以延长BG…构造全等三角形进行证明,方法不唯一,仅供参考)
(2)将图①中的△CEF绕点C逆时针旋转至图②位置时,GB与CE是否垂直?若垂直,请写出证明过程:若不垂直,请说明理由
(3)将图③中的△CEF绕点C逆时针旋转一周,若CE=3,AB=3
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:过G作GH⊥BE于H,如图1所示:
∵∠CEF=∠ABC=90°,
∴EF∥GH∥AB,
∵G为AF中点,
∴H为BE中点,
∴GH是梯形ABEF的中位线,GB=GE,
∴GH=
(EF+AB)=
(CE+BC),
即GH=EH=HB,
∴△GBH和△GEH是等腰直角三角形,
∴∠BGH=∠EGH=45°,
∴∠BGE=90°,
∴GB⊥GE;
(2) GB⊥GE,理由如下:
延长EG到H,使EG=GH,连接BH、AH,过E作BC的垂线EM,交CB延长线于R、交DF延长线于M,延长BA交GH于N,如图2所示:
在△EFG和△HAG中,
,
∴△EFG≌△HAG(SAS),
∴AH=EF=CE,∠FEG=∠AHG,
∴EF∥DH,
∵EM⊥BC,
∴EM∥AB∥DN,
∴∠HAN=∠FEM,
∵∠FEM+∠CER=90°,
∠ECR+∠CER=90°,
∴∠FEM=∠ECR,
∴∠HAN=∠ECR,
∴∠BAH=∠BCE,
在△EBC和△HAB中,
,
∴△EBC≌△HAB(SAS),
∴BE=BH,∠CBE=∠ABH,
∴∠EBH=∠ABH+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=90°,
∴△BEH是等腰直角三角形,
∵G为EH的中点,
∴GB⊥GE;
(3) 连接AC,如图3所示:
∵AB=3
,四边形ABCD是正方形,
∴AC=
AB=6,
∴cos∠ACE=
=
=
,
∴∠ACE=60°,
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=15°,
∴∠DCF=45°-15°=30°,
故答案为:30.

∵∠CEF=∠ABC=90°,
∴EF∥GH∥AB,
∵G为AF中点,
∴H为BE中点,
∴GH是梯形ABEF的中位线,GB=GE,
∴GH=
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即GH=EH=HB,
∴△GBH和△GEH是等腰直角三角形,
∴∠BGH=∠EGH=45°,
∴∠BGE=90°,
∴GB⊥GE;
(2) GB⊥GE,理由如下:
延长EG到H,使EG=GH,连接BH、AH,过E作BC的垂线EM,交CB延长线于R、交DF延长线于M,延长BA交GH于N,如图2所示:

在△EFG和△HAG中,
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∴△EFG≌△HAG(SAS),
∴AH=EF=CE,∠FEG=∠AHG,
∴EF∥DH,
∵EM⊥BC,
∴EM∥AB∥DN,
∴∠HAN=∠FEM,
∵∠FEM+∠CER=90°,
∠ECR+∠CER=90°,
∴∠FEM=∠ECR,
∴∠HAN=∠ECR,
∴∠BAH=∠BCE,
在△EBC和△HAB中,
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∴△EBC≌△HAB(SAS),
∴BE=BH,∠CBE=∠ABH,
∴∠EBH=∠ABH+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=90°,
∴△BEH是等腰直角三角形,
∵G为EH的中点,
∴GB⊥GE;
(3) 连接AC,如图3所示:

∵AB=3
2 |
∴AC=
2 |
∴cos∠ACE=
CE |
AC |
3 |
6 |
1 |
2 |
∴∠ACE=60°,
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=15°,
∴∠DCF=45°-15°=30°,
故答案为:30.
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