矩形ABCO的面积为10，OA比OC大3，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D，DF⊥AE于F．（1）求OA、OC的长．（2）求DF长；（3）P为边BC上一动点，设△ABP的面积为x，△OPC的面积为y，求y与x的函数

Question

矩形ABCO的面积为10，OA比OC大3，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D，DF⊥AE于F．
（1）求OA、OC的长．
（2）求DF长；
（3）P为边BC上一动点，设△ABP的面积为x，△OPC的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（4）直线BC上是否存在点Q，使∠AQO=90°？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设OC=x，则OA=x+3，
由题意得：x（x+3）=10，
即（x-2）（x+5）=0，
解得：x=2，x=-5（舍去），
∴OA=5，OC=2；     

（2）∵E为BC的中点，得到D为AD中点，且BC=5，AB=2，
∴AD=BE=2.5，根据勾股定理得：AE=√(22+2.52)=(√(41))/(2)，
∵矩形ABCD，∴BC∥AD，
∴∠BEA=∠EAD，又∠B=∠AFD=90°，
∴△ABE∽△DFA，
∴(AB)/(DF)=(AE)/(AD)，
则DF=(10√(41))/(41)；

（3）∵S_矩形ABCD=S_△AED，
∴S_△ABP+S_△OCP=(1)/(2)S_矩形ABCD，即x+y=5，
则y=5-x（0＜x＜5）；

（4）存在．画出图形，如图所示：
当AQ⊥QO时，∠AQB+∠CQD=90°，
∵∠AQB+∠BQA=90°，
∴∠CQD=∠BAQ，
又∠B=∠DCQ=90°，
∴△ABQ∽△QCD，∴(BQ)/(CD)=(AB)/(QC)，设BQ=a，则QC=5-a，
∴(a)/(2)=(2)/(5−a)，即（a-1）（a-4）=0，
解得：a=1或a=4，
当BQ=a=1时，点Q坐标为（-4，2）；
当BQ=a=4时，点Q坐标为（-1，2），
综上，Q坐标为（-1，2）或（-4，2）．