在三角形ABC中的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,定义向量m=（2SinB,-根号3）,向量n=（cos2B,2cos平方B/2-1）,且向量m平行于向量n.已知三角形ABC中的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,定义向量m=（2SinB,-根

Question

在三角形ABC中的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,定义向量m=（2SinB,-根号3）,向量
n=（cos2B,2cos平方B/2 -1）,且向量m平行于向量n.
已知三角形ABC中的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,定义向量m=（2SinB,-根号3）,向量n=（cos2B,2cos平方B/2 -1）,且向量m平行于向量n.
1)求函数f(x)=sin2XcosB-cos2XsinB的单调递增区间
2)如果b=2,求三角形ABC的面积最大值

Answer 1

（1）∵m ∥n ∴2sinB(2cos2(B /2) -1)=-√3 cos2B．∵sin2B=-√3cos2B
即tan2B=-√3
又∵B为锐角,∴2B∈（0,π）,∴2B=2π/3,∴B=π/3
.f(x)=sin2xcosB-cos2xsinB=sin(2x-π/3 )．
由2kπ-π/2 ≤2x-π/3 ≤2kπ+π/2 (k∈Z)．得：kπ-π/12≤x≤kπ+5π /12 (k∈Z)
∴函数的单调递增区间为：[kπ-π/12 ,kπ+5π /12].(k∈Z)
（2）∵B=π/3 ,b=2,由余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/2ac
得到：ac+4=a2+c2≥2ac,∴ac≤4,S△ABC=
1/2acsinB=√3/4ac≤√3 ,（当且仅当a=c=2时等号成立）．
即△ABC面积的最大值为√3 ．