在等腰三角形ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形ADB和AEC,其中∠ADB=∠AEC=90°,其中DF⊥AB与点F,EG⊥AC与点G,M是BC的中点,连接MD和ME,求证MD垂直ME.

Question

在等腰三角形ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形ADB和AEC,其中∠ADB=∠AEC=90°,其中DF⊥AB与点F,EG⊥AC与点G,M是BC的中点,连接MD和ME,求证MD垂直ME.

Answer 1

过程较繁琐,如有更简单,请随时通知
连接FM,GM,AM
∵BM=MC,AB=AC
∴AM⊥BC
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形,BF⊥AB,EG⊥AC
∴DF=MF=0.5AB=0.5AC=MG=EG
∴∠MAG=∠AMG,∠MEG=∠EMG
由上面得出,角DAM=∠AME
∴∠DME=∠MAG+∠AME+∠MGE=△AME-角GAE-∠GEA=90°