如图所示，在直三棱柱中，AB=，⊥平面，D为AC的中点．(1)求证：∥平面；(2)求证：⊥平面；(3)设E是上一点，试确定E的位置使平面⊥平面BDE，并说明理由．

Question

如图所示，在直三棱柱中，AB=，⊥平面，D为AC的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：⊥平面；
(3)设E是上一点，试确定E的位置使平面⊥平面BDE，并说明理由．

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Answer 1

【分析】(1)连接AB₁与A₁B相交于M，由三角形中位线定理，我们易得B₁C∥MD，结合线面平行的判定定理，易得B₁C∥平面A₁BD；
\n(2)由于已知的几何体ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，结合AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，根据正方形的几何特征，我们易得到AB₁⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁，根据线面垂直的判定定理，即可得到B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
\n(3)由图可知，当点E为CC₁的中点时，平面A₁BD⊥平面BDE，由已知易得DE∥AC₁，结合AC₁⊥平面AB₁D，我们易得到DE⊥平面AB₁D，进而根据面面垂直的判定定理得到结论．

(1)证明：连接AB₁与A₁B相交于M，

\n则M为A₁B的中点，连接MD，
\n又D为AC的中点，
\n∴B₁C∥MD，
\n又B₁C⊄平面A₁BD，
\n∴B₁C∥平面A₁BD．(4分)
\n(2)∵AB=BB₁，
\n∴四边形ABB₁A₁为正方形，
\n∴AB₁⊥A₁B，
\n又∵AC₁面A₁BD，
\n∴AC₁⊥A₁B，
\n∴AB₁⊥面AB₁C₁，
\n∴AB₁⊥B₁C₁，
\n又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥B₁C₁，
\n∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．(8分)
\n(3)当点E为CC₁的中点时，
\n平面A₁BD⊥平面BDE，
\n∵D、E分别为AC、CC₁的中点，
\n∴DE∥AC₁，
\n∵AC₁⊥平面AB₁D，
\n∴DE⊥平面AB₁D，又DE⊂平面BDE，
\n∴平面AB₁D⊥平面BDE．(14分)

【点评】本题考查的知识眯是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面间平行和垂直的判定定理、性质定理、定义是解答此类问题的根本．