已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求qp−pq的值．

Question

已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求(q)/(p) − (p)/(q)的值．

Answer 1

设这个多边形的边数是n．
根据题意得：(1)/(2)n•（n-3）=n，
解得：n=5．
则多边形的边数是5．
作正五边形ABCDE，连接AD；
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠BAE=(3×180°)/(5)=108°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=(180°−108°)/(2)=36°，
同理可知，∠AED=108°，AB=BC=AE=DE，
∴△ABC≌△AED，AC=AD；
∵∠BAC=∠DAE=36°，∠BAE=108°，
∴∠CAD=108°-36°-36°=36°，
∴∠ACD=∠ADC=72°；
作∠ACD的平分线，交AD于F，根据题意，∠CAD=36°，∠ACD=∠ADC=72°；
∴∠ACF=∠FCD=36°，AF=CF=CD，
∴△FCD∽△CAD，
∵正n边形共的周长等于p，所有对角线长的和等于q，
∴CD=(p)/(5)，AC=(q)/(5)则(CD)/(AC)=(FD)/(CD)，即((p)/(5))/((q)/(5))=((q)/(5)−(p)/(5))/((p)/(5))，
∴(p)/(q)=(q−p)/(p)，
(p)/(q)=(q)/(p)-1，即(q)/(p) − (p)/(q)=1．
故(q)/(p) − (p)/(q)的值为1．