已知二次函数f（x）有两个零点-3和1，且有最小值-4．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）令g（x）=mf（x）+1（m≠0）．①若m<0，证明：g（x）在[-3，+∞）上有唯一零点；②若m>0，求y=|g（x

Question

已知二次函数f（x）有两个零点-3和1，且有最小值-4．
（Ⅰ） 求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 令g（x）=mf（x）+1（m≠0）．
①若m<0，证明：g（x）在[-3，+∞）上有唯一零点；
②若m>0，求y=|g（x）|在[-3，(3)/(2)]上的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得f（-3）=0，f（1）=0，所以f（x）的图象关于直线x=-1对称
设f（x）=a（x+1）²-4，令x=1，则f（1）=4a-4=0，a=1，所以f（x）=x²+2x-3．…（2分）
（Ⅱ）①由题意得g（x）=m（x+1）²-4m+1，m<0
对称轴为x=-1>-3，所以g（x）在[-3，-1]上单调递增，[-1，+∞）上单调递减．…（3分）
又g（-3）=1>0，g（-1）=1-4m>0，
所以函数g（x）在[-3，-1]没有零点，在[-1，+∞）上有且只有一个零点，…（6分）
所以f（x）在[-3，+∞）上有唯一零点．…（7分）
②g（-1）=1-4m，g（-3）=1，g((3)/(2))=(9)/(4)m+1，因为m>0，所以 g((3)/(2))>g(-3)，…（8分）
当1-4m≥0，即m≤(1)/(4)时，ymax=|g(x)|max=g((3)/(2))=(9)/(4)m+1，…（9分）
当1-4m<0，即m>(1)/(4)时，
若4m-1≤(9)/(4)m+1，即(1)/(4)<m≤(8)/(7)，ymax=|g(x)|max=|g((3)/(2))|=(9)/(4)m+1．…（10分）
若4m-1>(9)/(4)m+1，即m>(8)/(7)，y_max=|g（x）|_max=|g（-1）|=4m-1，…（11分）
综上所述，当0<m≤(8)/(7)时，ymax=(9)/(4)m+1；当m>(8)/(7)时，y_max=4m-1．…（12分）