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平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系,下面我们就来研究其中的几种位置关系中角所存在的几种数量关系.(1)问题探究1:如图①,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则有∠D=∠BOD,又因
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平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系,下面我们就来研究其中的几种位置关系中角所存在的几种数量关系.
(1)问题探究1:
如图①,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则有∠D=∠BOD,又因为∠BOD是△POB的外角,故∠BOD=∠BPD+∠B,得∠BPD=∠D-∠B.将点P移到AB、CD内部,如图②,以上结论是否成立?若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?请证明你的结论;
(2)问题探究2:在图②中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD延长线于点Q,如图③,则∠BPD﹑∠B﹑∠PDQ﹑∠BQD之间有何数量关系?请证明你的结论;
(3)根据(2)的结论直接写出图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
(1)问题探究1:
如图①,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则有∠D=∠BOD,又因为∠BOD是△POB的外角,故∠BOD=∠BPD+∠B,得∠BPD=∠D-∠B.将点P移到AB、CD内部,如图②,以上结论是否成立?若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?请证明你的结论;
(2)问题探究2:在图②中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD延长线于点Q,如图③,则∠BPD﹑∠B﹑∠PDQ﹑∠BQD之间有何数量关系?请证明你的结论;
(3)根据(2)的结论直接写出图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)上述结论不成立.
过点P作PE∥AB
∴∠B+∠BPE=180°,
又∵AB∥CD,
∴PE∥CD,
∴∠D+∠EPD=180°,
∴∠B+∠BPE+∠D+∠EPD=360°,
即∠B+∠BPD+∠D=360°.
(2)∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD,
连接QP并延长至E,
∵∠BPE是△BPQ的一个外角,
∴∠BPE=∠BQP+∠B.
同理:∠EPD=∠DQP+∠PDQ.
∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ.
即:∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD.
(3)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
过点P作PE∥AB
∴∠B+∠BPE=180°,
又∵AB∥CD,
∴PE∥CD,
∴∠D+∠EPD=180°,
∴∠B+∠BPE+∠D+∠EPD=360°,
即∠B+∠BPD+∠D=360°.
(2)∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD,
连接QP并延长至E,
∵∠BPE是△BPQ的一个外角,
∴∠BPE=∠BQP+∠B.
同理:∠EPD=∠DQP+∠PDQ.
∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ.
即:∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD.
(3)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
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