已知,AC平行BD.AE,BE分别平分角CAB和角DBA,CD过E点.求证AB=AC+BD方法越多越好

Question

已知,AC平行BD.AE,BE分别平分角CAB和角DBA,CD过E点.求证AB=AC+BD
方法越多越好

Answer 1

证明：在AB上截取AF=AC，连接EF
在△ACE和△AFE中
AC=AF，∠CAE=∠FAE，AE=AE
∴△ACE≌△AFE(SAS)
∴∠AEC=∠AEF
∵AC//BD
∴∠CAB+∠ABD=180°
∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA
∴∠EAB+∠EBA=1/2∠CAB+1/2∠ABD=1/2×180°=90°
∴∠AEB=90°
∴∠AEC+∠BED=180°-90°=90°
∠AEF+∠BEF=90°
∴∠BEF=∠BED(等角的余角相等)
在△BEF和△BED中
∠BEF=∠BED, BE=BE, ∠FBE=∠DBE
∴△BEF≌△BED(ASA)
∴BF=BD
∴AB=AF+BF=AC+BD