在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（72，32）．那么点A3的纵坐标是9494，

Question

在平面直角坐标系xOy中，点A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（(7)/(2)，(3)/(2)）．那么点A₃的纵坐标是

(9)/(4)

(9)/(4)

，点A₂₀₁₃的纵坐标是

（

3

2

）^n-1

（

3

2

）^n-1

．

Answer 1

∵A₁（1，1），A₂（(7)/(2)，(3)/(2)）在直线y=kx+b上，
∴

k+b＝1

(7)/(2)k+b＝(3)/(2)

，
解得

k＝(1)/(5)

b＝(4)/(5)

，
∴直线解析式为y=(1)/(5)x+(4)/(5)；
设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为N、M，
当x=0时，y=(4)/(5)，
当y=0时，(1)/(5)x+(4)/(5)=0，解得x=-4，
∴点M、N的坐标分别为M（0，(4)/(5)），N（-4，0），
∴tan∠MNO=(MO)/(NO)=((4)/(5))/(4)=(1)/(5)，
作A₁C₁⊥x轴与点C₁，A₂C₂⊥x轴与点C₂，A₃C₃⊥x轴与点C₃，
∵A₁（1，1），A₂（(7)/(2)，(3)/(2)），
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×(3)/(2)=2+3=5，
tan∠MNO=(A3C3)/(NC3)=(A3C3)/(4+5+B3C3)=(1)/(5)，
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∴A₃C₃=B₂C₃，
∴A₃C₃=(9)/(4)=（(3)/(2)）²，
同理可求，第四个等腰直角三角形A₄C₄=

27

8

=（

3

2

）³，
依此类推，点A_n的纵坐标是（

3

2

）^n-1．
故答案为：(9)/(4)（

3

2

）^n-1．